5 Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan Jawabannya

Soal 2

2x + 3y – z = 7

4x – y + 2z = 1

x + 2y + 3z = 5

Jawaban:

Langkah 1: Gunakan persamaan (3) untuk mencari x

Gantikan nilai x pada persamaan (1) dan (2) dengan menggunakan persamaan (6):

2(5 – 2y – 3z) + 3y – z = 7 (1)

4(5 – 2y – 3z) – y + 2z = 1 (2)

Langkah 3: Sederhanakan persamaan

Sederhanakan persamaan (1) dan (2) dan kita akan memiliki persamaan baru:

10 – 4y – 6z + 3y – z = 7 (1)

20 – 8y – 12z – y + 2z = 1 (2)

Langkah 4: Sederhanakan lebih lanjut

Sederhanakan persamaan (1) dan (2) dan kita akan memiliki persamaan baru:

y – 7z = -3 (7)

7y – 10z = -19 (8)

Langkah 5: Gantikan nilai y pada persamaan (8)

Gantikan nilai y pada persamaan (8) menggunakan persamaan (7):

7(-y – 7z) – 10z = -19

7y + 49z – 10z = -19

7y + 39z = -19 (9)

Langkah 6: Gantikan nilai y pada persamaan (7)

Gantikan nilai y pada persamaan (7) menggunakan persamaan (9):

(-7z) – 7z = -3

7z – 7z = -3

0 = -3

Dari langkah 6, kita mendapatkan hasil yang tidak konsisten (0 = -3).

Soal 3

x + 2y + 3z = 14
2x – y + z = 3
3x + y – 2z = 4

Jawaban:

Langkah 1: Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2)

Kita kalikan persamaan (1) dengan 2 dan kurangkan dengan persamaan (2).

2x + 4y + 6z = 28

2x – y + z = 3

(2x + 4y + 6z) – (2x – y + z) = 28 – 3

5y + 5z = 25

y + z = 5 → (4)

Langkah 2: Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3)

Kalikan persamaan (1) dengan 3 dan kurangkan dengan (3) dikali 1.

3x + 6y + 9z = 42

3x + y – 2z = 4

(3x + 6y + 9z) – (3x + y – 2z) = 42 – 4

5y + 11z = 38 → (5)

Langkah 3: Eliminasi variabel y menggunakan persamaan (4) dan (5)

Substitusi y = 5 – z ke (5):

5(5 – z) + 11z = 38

25 – 5z + 11z = 38

6z = 13

z = 13/6

Langkah 4: Substitusi nilai z ke persamaan (4)

y + 13/6 = 5

y = 5 – 13/6

y = 30/6 – 13/6

y = 17/6

Langkah 5: Substitusi nilai y dan z ke persamaan (2)

2x – (17/6) + (13/6) = 3

2x – 4/6 = 3

2x = 3 + 2/3

2x = 11/3

x = 11/6

Jadi, x = 11/6, y = 17/6, dan z = 13/6.

Soal 4

x + y + z = 6

2x – y + 3z = 14

x + 4y – z = -2

Jawaban:

Langkah 1: Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2)

Kalikan (1) dengan 2 dan kurangkan dengan (2):

2x + 2y + 2z = 12

2x – y + 3z = 14

(2x + 2y + 2z) – (2x – y + 3z) = 12 – 14

3y – z = -2 → (4)

Langkah 2: Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3)

Kalikan (1) dengan 1 dan kurangkan dengan (3):

x + y + z = 6

x + 4y – z = -2

(x + y + z) – (x + 4y – z) = 6 – (-2)

-3y + 2z = 8 → (5)

Langkah 3: Eliminasi variabel y dari (4) dan (5)

Kalikan (4) dengan 3 agar bisa dijumlahkan dengan (5):

9y – 3z = -6

-3y + 2z = 8

(9y – 3z) + (-3y + 2z) = -6 + 8

6y – z = 2 → (6)

Langkah 4: Substitusi (6) ke (4) untuk mencari z

Dari (4): 3y – z = -2

Kita bisa eliminasi z dari (6):

6y – z = 2 → z = 6y – 2

Substitusi ke (4):

3y – (6y – 2) = -2

3y – 6y + 2 = -2

-3y = -4

y = 4/3

Langkah 5: Substitusi y ke (6)

6(4/3) – z = 2

8 – z = 2

z = 6

Langkah 6: Substitusi y dan z ke (1)

x + (4/3) + 6 = 6

x + 22/3 = 6

x = 6 – 22/3

x = (18 – 22)/3

x = -4/3

Jadi, x = -4/3, y = 4/3, dan z = 6.

Soal 5

x + y + z = 3

2x – y + 4z = 10

3x + 2y + z = 7

Jawaban:

Langkah 1: Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2)

Jumlahkan (1) dan (2):

(x + y + z) + (2x – y + 4z) = 3 + 10

3x + 5z = 13 → (4)

Langkah 2: Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (3)

Kalikan (1) dengan 2 lalu kurangkan dengan (3):

2(x + y + z) – (3x + 2y + z) = 6 – 7

(2x + 2y + 2z) – (3x + 2y + z) = -1

x + z = -1 → (5)

Langkah 3: Dari (5) didapat z = x – 1

Substitusi ke (4):

3x + 5(x – 1) = 13

3x + 5x – 5 = 13

8x = 18

x = 9/4

Langkah 4: Cari nilai z

z = x – 1

z = 9/4 – 1

z = 5/4

Langkah 5: Substitusi x dan z ke persamaan (1)

x + y + z = 3

9/4 + y + 5/4 = 3

y + 14/4 = 3

y = 3 – 14/4

y = 12/4 – 14/4

y = -2/4

y = -1/2

Jadi, x = 9/4, y = -1/2, dan z = 5/4.

Demikian pembahasan contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel dan jawabannya semoga bermanfaat untuk kamu. 😊✨

---