Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA beserta Penjelasannya

Mengerjakan soal-soal integral dianggap membuat ketagihan, menantang dan puas jika berhasil menemukan jawabannya. Bagi kamu yang baru ingin mengenal materi integral, yuk pahami materi ini melalui rangkuman tentang integral berikut.

16 Februari 2024 Bella Carla

Ikuti Mamikos Info di Google

Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA beserta Penjelasannya – Ketika duduk di bangku SMA kelas 12, kamu akan diajak mempelajari materi integral dalam pelajaran matematika.

Nah, materi integral ini seringkali ditemukan dalam soal-soal ujian masuk perguruan tinggi, lho.

Bagi kamu yang masih belum begitu memahami materi integral dalam matematika, artikel ini akan mengupas tuntas integral dari konsep, sifat, jenis-jenis dan rumusnya, teknik penyelesaian, aplikasi, hingga contoh soal dan pembahasannya. Yuk, pelajari!

Daftar Isi

Berikut Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA
Apa itu Integral?
Jenis-jenis Integral
Teknik Pengintegralan
Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari

Berikut Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA

Bagi mereka yang senang dengan matematika, materi integral menjadi salah satu materi yang sangat menarik untuk dipelajari.

Mengerjakan soal-soal integral dianggap membuat ketagihan, menantang dan puas jika berhasil menemukan jawabannya.

Bagi kamu yang baru ingin mengenal materi integral, yuk pahami materi ini melalui rangkuman tentang integral lengkap dengan contoh soal integral dari Mamikos di bawah ini.

Baca Juga :

Contoh Soal Luas Permukaan Prisma Segitiga Matematika beserta Jawabannya Lengkap

Apa itu Integral?

Pertama-tama mungkin kita mulai dari pengertian integral terlebih dahulu. Nah, perlu kamu ketahui bahwa kalkulus sebagai cabang ilmu matematika mencakup beberapa konsep, kayak limit, turunan, dan integral.

Ketiga konsep penghitungan tersebut nyatanya saling nyambung satu sama lain. Tentunya kamu pasti tahu turunan kan? Nah, integral ini merupakan kebalikan dari proses turunan, yang disebut anti turunan.

Contoh paling dasar hubungan antara turunan dan integral, misalnya ada sebuah fungsi f(x) diturunkan, maka menjadi f’(x).

Nah, integral merupakan kebalikannya turunan, jadi f’(x) dibalik lagi. Maka, hasilnya balik menjadi f(x).

Terus, bagaimana formula dari integral? Definisi integral yang paling sederhana dan banyak digunakan di kalkulus dasar serta fisika hingga saat ini adalah Integral Riemann.

Definisi satu ini dibikin oleh seorang matematikawan Jerman, Georg Friedrich Bernhard Riemann. Bentuknya kayak gini nih.

$A = \int_{b}^{a} f(x) dx$

$(\int )$ = lambang integral

A = nilai integral dari fungsi $f (x)$

b = batas atas variabel yang diintegrasi

o = batas bawah variabel yang diintegrasi

$f(x)$ = fungsi yang diintegralkan

$dx =$ variabel yang diintegrasi

Baca Juga :

Contoh Soal Ujian Sekolah Matematika Kelas 12 SMA/SMK dan Jawabannya

Jadi singkatnya, rumus integral itu tidak dapat berdiri sendiri, tetapi bergantung sama apa yang ada di dalam turunan.

Kalau kamu sudah memahami konsep ini, kamu bisa ngerjain soal integral apa pun. Kamu mulai dari konsep turunan yang berkaitan sama soal itu, cari padanannya, dan tinggal kamu integralkan saja.

Jenis-jenis Integral

Terdapat dua jenis integral, yakni integral tak tentu dan integral tentu. Ibarat si Budi yang ngasih kepastian ke kamu dan si Amin yang suka datang dan pergi sesuka hati, mereka pasti punya sifat dan cara pendekatan yang beda ke kamu.

Nah, begitu juga dengan integral tentu dan integral tak tentu. Macam-macam integral ini tentu punya sifat dan rumusnya sendiri.

1. Integral tak tentu

Integral tak tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) = f(x) diketahui.

Hitung integral erat kaitannya dengan kalkulus diferensial atau turunan suatu fungsi.

Integral ditemukan terlebih dahulu sebelum turunan, sebelum akhirnya diketahui bahwa ternyata integral dan turunan ternyata mempunyai hubungan.

Walaupun integral ditemukan terlebih dahulu, hitung integral akan lebih mudah dipahami dengan mudah setelah kita mempelajari turunan.

Berikut adalah rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu.

Rumus:

a. $\int a dx = ax+c$

b. $\int x^{n} dx = \frac{x^{n-1}}{n+1}+c$ dengan $n\neq 1$

c. $\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n-1}+c$ dengan $n\neq 1$

Contoh Soal 1:

Tentukanlah:

a. $\int 2x^{3}$ dx

b. $\int \left ( 5x^{4} -3x^{3}+6x^{^{2}}+7x-2\right )$ dx

c. $\int 2x\sqrt{x}$ dx

Penyelesaian:

a. $\int 2x^{3}$ dx = $\frac{2}{4}^{}x^{^{4}}+c=\frac{1}{2}x^{^{4}}+c$

b. $\int \left ( 5x^{^{4}} \right )- 3x^{^{3}} + 6x^{^{2}}+7x-2)$ dx = $x^{5} - \frac{3}{4}x^{4}+2x^{^{3}}+\frac{7}{2}x^{2}-2x+c$

c. $\int 2x\sqrt{x}$ dx = $\int 2x\tfrac{_{3}^{}}{2}$ dx = $\frac{2}{5}x^{_{2}^{5}}+c=\frac{4}{5}x^{\tfrac{5}{2}}+c$

Contoh Soal 2:

Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta C yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga C dapat diketahui.

Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian:

$f(x)=\int (5x-3)dx=\frac{5}{3}x^{2}-3x+c$

$f(2)=18\Leftrightarrow \frac{5}{2}(2)^{2}+3.2+c=18$

$\Leftrightarrow 10+6+c=18$

$\Leftrightarrow 16+c=18$

$\Leftrightarrow c=2$

Jadi, $f(x)=\frac{5}{2}x^{2}-3x+2$

Contoh Soal 3:

Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-8x+5$ , maka tentukan persamaan kurva tersebut.

Penyelesaian:

$f(x)=\int (3x^{^{2}}-8x+5)dx=x^{3}-4x^{2}+5x+c$

$f(3)=4\Leftrightarrow 3^{3}-4.3^{2}+5.3+c=4$

$\Leftrightarrow 27-36+15+c=4$

$\Leftrightarrow c=-2$

Jadi f(x) $= x^{3}-4x^{2}+5x-2$

Baca Juga :

Cara Membuat Tabel Kebenaran Logika Matematika yang Benar, Siswa SMA Wajib Tahu!

2. Integral tentu

Integral tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah tersebut diketahui.

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bawah ini :

Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan
Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan antara s, v, dan a adalah sebagai berikut.

$v=\frac{ds}{dt} sehingga s = \int v dt$ dan $a=\frac{dv}{dt}$ sehingga $v = \int a dt$

Rumus:

$\int_{a}^{b}f(x)$ dx = $[F(x)]_{a}^{b}$ = F(b) – F(a)

Berikut ini sifat-sifat integral tentu. Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g pada interval [a,b] maka berlaku sifat-sifat berikut.

1. $\int_{a}^{b}f(x)$ dx = $- \int_{b}^{a}f(x)$ dx

2. $\int_{a}^{a}f(x)$ dx = 0

3. $\int_{a}^{b}kf(x)$ dx $=k\int_{a}^{b}f(x)$ dx dengan k suatu konstanta

4. $\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))$ dx $=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)$ dx

5. $\int_{a}^{c}f(x)$ dx= $\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$

6. $\int_{a}^{b}k dx=k(b-a)$

Baca Juga :

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya, Yuk Kita Pelajari!

Contoh Soal 1:

Diketahui $f'(x) = 6x^{2} - 10x + 3$ dan $f (-1) = 2$ . Tentukan $f(x)$

Penyelesaian:

$f'(x) = 6x^{2} - 10x + 3$

$f(x) = \int (6x^{2}-10x+3)dx$

$= 2x^{3} - 5x^{3}+3x+c$

$f(-1) = 2$

$2 = 2(-1)^{3}-5-(-1)^{2}+3(-1)+c$

$2 = -2-5-3+c$

$c=12$

Jadi, $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x+12$

Contoh Soal 2:

Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan $a$ yang memenuhi persamaan $a = 2t-1, a$ dalam $m/s^{2}$ dan $t$ dalam detik. Jika
kecepatan awal benda $v=5m/s$ dan posisi benda saat $t=6$ adalah $s = 92m$ , maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat $t$ detik!

Penyelesaian:

$a = 2t - 1$

$v = \int a$ $dt$

$v = \int (2t-1)dt$

$= t^{2}-t+C$

Kecepatan awal benda 5 $ms^{-1}$ , artinya saat $t=0$ nilai $v = 5$

$v_{t=0} = 5$

$0^{2}-0+C = 5$

$C=5$

Sehingga,

$v=t^{2}-t+5$

$s=\int v$ $dt$

$= \int (t^{2}-t+5)dt$

$=\frac{1}{3}t^{2}-\frac{1}{2}t^{2}+5t+d$

untuk $s_{t=6} = 92$

$\frac{1}{3}(6)^{3}-\frac{1}{2}(6)^{2}+5(6)+d = 92$

$72-18+30+d=92$

$84+d=92$

$d=8$

Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan:

$s=\frac{1}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}+5t+8$

Teknik Pengintegralan

Ada beberapa fungsi yang sulit dicari integralnya dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun parsial.

1. Integral Substitusi

Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan.

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus $\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ .

Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk:

$\int f(x)^{n}d f(x)$

Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variabel x yang tersisa.

$\int u^{n}du=$ $\frac{1}{n + 1}u^{n+1}+c$ dengan $u = f(x), n \neq - 1$

$\int \frac{1}{u}du = ln\left |u \right |+c$

b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku:

$\int (f(x)^{n}g(x)dx)=\int f(x)^{n}d(f(x))=\frac{1}{n+1}(f(x))^{n+1}+c$

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus $\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ . Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

2. Integral Parsial

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral substitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan substitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih fungsi yang dapat diintegralkan.

Baca Juga :

Contoh-contoh Soal PTS Matematika SMA/SMK Kelas 12 Semester 1 beserta Jawabannya

Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita integralkan kedua rua, maka akan didapat:

$\int y'dx=\int u'v dx+\int uv'dx$ $\Leftrightarrow \int uv'ddx=y-\int u'vdx=uv-\int u'v$

Rumus integral parsial:

$\int u dv=u.v-\int v du$

Contoh Soal

Tentukanlah:

a. $\int 10 dx$

b. $\int 2x(x+2)dx$

c. $\int \frac{6}{x}dx$

Penyelesaian:

a. $\int 10dx=\int 10x^{0}dx$

$= 10 . \frac{1}{0+1}x^{0+1}+c$

$=10x+c$

b. $\int 2(x+2)dx=\int (2x^{^{2}}+4x)dx$

$= 2. \frac{1}{2+1}x^{2+1}+4.\frac{1}{1+1}x^{1+1}+c$

$= \frac{2}{3}x^{3}+2x^{2}+c$

c. $\int \frac{6}{x}dx=6\int \frac{1}{x}dx=6 ln$ x + c

Aplikasi Integral dalam Kehidupan Sehari-hari

Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya.

Apabila kita mengintegrasikan, kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini.

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi, fisika, ekonomi, matematika, teknik dan
bidang-bidang lain. Adapun uraiannya sebagai berikut.

1. Bidang Teknologi

Integral sering digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume, panjang kurva, memperkirakan populasi, keluaran kardiak, usaha, gaya dan surplus konsumen.

2. Bidang Ekonomi

Penerapan integral dalam bidang ekonomi yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi dan mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

3. Bidang Matematika

Penerapan integral dalam bidang matematika yaitu untuk menentukan luas suatu bidang, serta untuk menentukan volume benda putar dan menentukan panjang busur.

4. Bidang Fisika

Penerapan integral dalam bidang fisika yaitu untuk menganalisis rangkaian listrik arus AC, menganalisis medan magnet pada kumparan, dan menganalisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

5. Bidang Teknik

Penerapan Integral dalam bidang teknik yaitu untuk mengetahui volume benda putar dan mengetahui luas daerah pada kurva.

Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari, dapat kita ketahui dari kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, dan posisi perpindahan benda itu pada setiap waktu.

Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial), contoh lain yaitu setiap gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta.

Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, maka dipakailah integral.

Nah, itulah rangkuman materi integral matematika kelas 12 SMA lengkap dengan penjelasan yang bisa Mamikos bagikan kepada kamu.

Semoga artikel di atas bisa membantu kamu lebih jauh lagi dalam memahami materi integral, ya.

Bagi kamu yang ingin mengulik lebih banyak seputar materi pelajaran matematika lainnya, kamu bisa kunjungi situs blog Mamikos dan temukan informasinya di sana.

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta

Tags Integral matematika sma