Ringkasan Materi Induksi Matematika Kelas 11 SMA dan Penjelasannya

Jenis-jenis Prinsip Induksi Matematika

Prinsip Induksi Sederhana

Misalnya p(n) merupakan suatu pernyataan perihal bilangan bulat positif dan kamu akan membuktikan bahwa p (n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Supaya kamu bisa melakukan pembuktian kebenaran pernyataan ini, kamu hanya perlu dapat menunjukkan bahwa:

p(1) benar

Untuk semua bilangan bulat positif n ≥1, jika p(n) adalah benar, p (n+1) adalah juga benar

Prinsip Induksi yang Dirampatkan

Misalnya p(n) merupakan sebuah pernyataan perihal bilangan bulat dan kamu akan melakukan pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.

Dalam melakukan pembuktian ini, kamu hanya perlu dapat menunjukkan bahwa:

p(n0) benar.

Untuk semua bilangan bulat n ≥n0, jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar.

Perbedaan prinsip induksi sederhana dengan prinsip induksi yang dirampatkan adalah pada induksi sederhana kamu harus selalu memakai basis induksi untuk n = 1, tapi pada prinsip induksi yang dirampatkan, basis induksi tidak selalu dimulai dengan n = 1.

Nilai n bisa berapa saja asalkan nilai yang dimiliki oleh n adalah anggota bilangan asli.

Prinsip Induksi Kuat

Misalnya p(n) merupakan pernyataan perihal bilangan bulat dan kamu ingin melakukan pembuktian bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ n0, jika p(n0), p(n0+1),…,p(n) adalah benar maka p(n+1) bisa dipastikan juga benar.

Versi induksi kuat ini mirip dengan induksi sederhana, kecuali pada langkah 2 kamu harus dapat mengambil hipotesis induksi yang lebih kuat pada semua pernyataan p(1), p(2), …, p(n) merupakan benar dari hipotesis yang menyatakan bahwa p(n) adalah benar.

Baca Juga :

Ringkasan Materi Matematika SMP Kelas 9 Semester 1 dan 2 Kurikulum Merdeka

Efek Domino

Misalkan n adalah bilangan bulat tak negatif.

N = {1, 2, 3, . . .}

Kamu ingin membuktikan beberapa pernyataan matematis mengenai setiap anggota N, misalnya pada masalah berikut.

Tunjukkan bahwa:

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛 (𝑛 + 1)/ 2

untuk setiap n ≥ 1

Dalam arti pernyataan di atas merupakan pernyataan yang berbeda tak terbatas karena setiap n kamu akan mendapat persamaan yang berbeda.

n = 1 → 1 = 1(2)/2 = 1

n = 2 → 1 + 2 = 2(3)/2 = 3

n = 3 → 1 + 2 + 3 = 3(4)/2 = 6 dan begitu seterusnya.