Kumpulan Contoh Soal OSN Olimpiade Matematika SMA dan Penjelasannya
Kumpulan Contoh Soal OSN Olimpiade Matematika SMA dan
Penjelasannya – OSN atau Olimpiade Sains Nasional mengujikan beberapa mata
pelajaran, salah satunya adalah Matematika.
Guna membantu kamu mempersiapkan OSN Matematika, mamikos
telah menyiapkan kumpulan contoh soal OSN Matematika.
Kumpulan contoh soal di artikel ini juga sudah disertai
dengan pembahasannya untuk mempermudah kamu belajar.
Kumpulan Contoh Soal OSN Matematika SMA
Daftar Isi
Daftar Isi
Materi Matematika pada OSN mencakup beberapa bab pada pelajaran
yang sudah kamu dapatkan di sekolah, seperti:
1. Aljabar
- Sistem Bilangan real
- Ketaksamaan
- Nilai Mutlak
- Suku Banyak (Polinom)
- Fungsi
- Sistem Koordinat Bidang
- Barisan dan Deret Aritmatika
- Persamaan dan Sistem Persamaan
2. Geometri
- Hubungan Antara Garis dan Titik
- Hubungan Antara Garis dan Garis
- Bangun-bangun Bidang Datar
- Kesebangunan dan Kekongruenan
- Sifat-sifat Segitiga
- Dalil Menelaus
- Dalil Ceva
- Dalil Steward
- Relasi Lingkaran dengan Titik
- Relasi Lingkaran dengan Garis
- Relasi Lingkaran dengan Segitiga
- Relasi Lingkaran dengan Segi Empat
- Relasi Lingkaran dengan Lingkaran
- Garis-garis melalui Konkuren dan Kolinier
- Trigonometri
- Bangun Ruang Sederhana
3. Kombinatorika
- Prinsip Pecahan
- Prinsip Rumah Merpati
- Prinsip Paritas
4. Teori Bilangan
- Sistem Bilangan Bulat
- Keterbagian
- Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil, Relatif Prima, dan Algoritma Euclid
- Bilangan Prima
- Teorema Dasar Aritmatika
- Persamaan dan Sistem Persamaan Bilangan Bulat
- Fungsi Tangga
Contoh Soal OSN Matematika Materi Aljabar
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 1
Selesaikan persamaan berikut untuk x
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan
persamaan kuadrat tersebut:
Dalam persamaan , kita memiliki , dan . Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus kuadrat akan memberikan dua solusi.
Jadi, solusinya adalah atau .
Sehingga, atau .
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 2
Jika dan , tentukan nilai dari .
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan identitas aljabar .
Dalam hal ini, kita sudah mengetahui dan .
Selanjutnya, kita substitusi ke dalam persamaan tersebut:
Jadi, .
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 3
Apabila terdapat , tentukan nilai .
Pembahasan:
Kita akan mencari nilai dengan menyederhanakan persamaan dan menyelesaikannya.
Kita dapat menyatukan pecahan dengan mencari penyebut
bersama:
Kemudian, kita dapat menyederhanakan persamaan:
Setelah menyederhanakan dan menyusun persamaan kuadrat, kita dapat menyelesaikannya untuk .
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 4
Jika , tentukan nilai dalam bentuk pecahan sederhana.
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan sifat logaritma .
Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan kuadrat dan menyelesaikannya untuk .
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 5
Tentukan semua solusi real dari ketidaksetaraan berikut &space;0&space;\)” alt=”\( \frac{x^2 – 4}{x-2} > 0 \)” align=”absmiddle”>.
Pembahasan:
Pertama-tama, kita identifikasi titik-titik kritis di mana penyebut dan pembilang sama dengan nol. Dalam hal ini, sehingga .
Kemudian, kita membuat peta tanda untuk menguji
interval-interval di sekitar titik-titik kritis.
Menggunakan uji coba titik dalam setiap interval, kita
menentukan di mana ketidaksetaraan ini benar.
Peta tanda:
0&space;&&space;<0&space;\\&space;\hline&space;\end{array}" alt="\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline (x-2) & x^2 - 4 & \frac{x^2 - 4}{x-2} \\ \hline <0 & >0 & <0 \\ \hline \end{array}" align="absmiddle">
Jadi, solusi dari ketidaksetaraan tersebut adalah .
Contoh Soal OSN Materi Geometri
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 6
Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi dan . Tentukan luas segitiga ABC.
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus Heron untuk menghitung luas
segitiga jika diketahui panjang semua sisi. Rumus Heron adalah:
di mana s adalah semiperimeter segitiga, a, b, dan c adalah panjang sisi segitiga. Semiperimeter s dihitung sebagai .
Untuk segitiga ABC dengan AB = 5, BC = 12, dan AC = 13, kita memiliki .
Selanjutnya, kita substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus
Heron:
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 7
Diketahui sebuah jajaran genjang dengan panjang alas a = 8 dan tinggi h = 5. Tentukan luas jajaran genjang tersebut.
Pembahasan:
Luas jajaran genjang dapat dihitung dengan rumus , di mana a adalah panjang alas dan h adalah tinggi jajaran genjang.
Untuk jajaran genjang dengan a = 8 dan h = 5, kita substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
Luas = 8 x 5
Luas = 40
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 8
Diketahui lingkaran O dengan jari-jari (r = 6). Tentukan keliling dan luas lingkaran tersebut.
Pembahasan:
Keliling lingkaran dapat dihitung dengan rumus , sedangkan luas lingkaran dapat dihitung dengan rumus .
Untuk lingkaran dengan r = 6, kita substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 9
Suatu trapesium ABCD dengan panjang sisi sejajar AB = 7, CD = 11, dan tinggi h = 4. Tentukan luas trapesium tersebut.
Pembahasan:
Luas trapesium dapat dihitung dengan rumus , di mana a dan b adalah panjang sisi sejajar dan h adalah tinggi trapesium.
Untuk trapesium ABCD dengan AB = 7, CD = 11, dan h = 4, kita masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:
Jadi, luas trapesium tersebut adalah 36.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 10
Sebuah prisma segitiga dengan tinggi h = 10, panjang alas segitiga a = 6, dan tinggi segitiga t = 8. Tentukan volume prisma tersebut.
Pembahasan:
Volume prisma segitiga dapat dihitung dengan rumus , di mana a adalah panjang alas segitiga, t adalah tinggi segitiga, dan h adalah tinggi prisma.
Untuk prisma segitiga dengan a = 6, t = 8, dan h = 10, maka:
Contoh Soal OSN Matematika Materi Kombinatorika
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 11
Sebuah keluarga terdiri dari 4 anak perempuan dan 3 anak
laki-laki. Keluarga tersebut akan memilih secara acak 2 anak untuk mendapatkan
hadiah ulang tahun.
Berapa jumlah cara yang mungkin terjadi jika kedua anak
tersebut boleh berjenis kelamin berbeda?
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan kombinasi untuk menentukan jumlah
cara pemilihan dua anak dari total anak perempuan dan laki-laki.
Jumlah cara yang mungkin adalah , di mana adalah simbol kombinasi “n choose k”, yang dapat dihitung sebagai .
Terdapat 12 cara yang mungkin untuk memilih 2 anak dengan
jenis kelamin berbeda.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 12
Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari kata
“MATHEMATIKA” jika setiap huruf harus digunakan tepat satu kali dalam
pembentukan kata tersebut?
Pembahasan:
Jumlah kata yang dapat dibentuk dari kata “MATHEMATIKA” adalah 11! , di mana ( n! ) adalah faktorial dari ( n ), yang berarti .
Sehingga terdapat ( 11! ) kata yang dapat dibentuk dari kata “MATHEMATIKA”.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 13
Seorang guru harus memilih tim lomba debat dari 8 siswa
laki-laki dan 6 siswa perempuan.
Jika setiap tim harus terdiri dari 3 siswa, berapa jumlah
cara yang mungkin guru tersebut dapat membentuk tim?
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan kombinasi untuk menentukan jumlah
cara guru memilih tim debat.
Jumlah cara yang mungkin adalah , di mana adalah simbol kombinasi “n choose k”.
Sehingga ada 812 cara yang mungkin untuk membentuk tim lomba
debat.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 14
Sebuah buku terdiri dari 5 bab dan seorang pembaca ingin
membaca buku tersebut.
Berapa banyak cara yang mungkin untuk membaca bab-babnya
jika pembaca tersebut memutuskan untuk membaca tepat 3 bab dan dapat memilih
urutan babnya sendiri?
Pembahasan:
Jumlah cara membaca 3 bab dari total 5 bab adalah P(5,3), di mana P(n, k) adalah simbol permutasi “n permute k”.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 15
Sebuah grup musik terdiri dari 4 penyanyi dan 3 pemain musik.
Jika grup tersebut ingin mengadakan pertunjukan di mana setiap penyanyi akan berduet dengan setiap pemain musik, berapa jumlah duet yang mungkin terjadi?
Pembahasan:
Jumlah duet yang mungkin terjadi adalah , di mana adalah simbol kombinasi “n choose k”.
Jawabannya adalah 18.
Contoh Soal OSN Matematika Materi Teori Bilangan
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 16
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil pada rentang 1 hingga
100.
Pembahasan:
Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2.
Rentang bilangan ganjil dari 1 hingga 100 adalah 1, 3, 5, …, 99.
Kita dapat menggunakan rumus jumlah deret aritmatika untuk
menemukan jumlah semua bilangan ganjil.
Rumus jumlah deret aritmatika:
di mana adalah jumlah, ( n ) adalah jumlah suku, ( a ) adalah suku pertama, dan ( l ) adalah suku terakhir.
Jumlah bilangan ganjil adalah:
Jumlah semua bilangan ganjil dari 1 hingga 100 adalah 2500.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 17
Tentukan nilai dan !
Pembahasan:
Untuk menentukan , kita dapat menggunakan Algoritma Euclid. Pertama, kita cari sisa pembagian 150 oleh 120.
Selanjutnya, kita cari sisa pembagian 120 oleh 30.
Jadi, .
Untuk menentukan KPK (120, 150), kita gunakan rumus:
Jadi, KPK (120, 150) = 600.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 18
Sebutkan dua bilangan asli berbeda yang FPB-nya adalah 9 dan
KPK-nya adalah 72.
Pembahasan:
Ketahui bahwa .
Dalam kasus ini, .
Mencari pasangan faktor yang memenuhi persamaan ini, kita dapat memilih a = 18 dan b = 36, karena .
Dua bilangan asli berbeda yang FPB-nya adalah 9 dan KPK-nya
adalah 72 adalah 18 dan 36.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 19
Tentukan semua faktor prima dari bilangan 84.
Pembahasan:
Untuk menentukan faktor prima dari 84, kita dapat melakukan
faktorisasi prima.
Sehingga faktor prima
dari 84 adalah 2, 3, dan 7.
Contoh Soal OSN Matematika SMA – 20
Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama a = 3, suku terakhir l = 15 , dan jumlah suku . Tentukan jumlah suku deret tersebut.
Pembahasan:
Kita dapat menggunakan rumus jumlah deret aritmatika:
Kita tahu a = 3, l = 15 , dan .
Substitusi nilai-nilai ini ke dalam rumus:
Simplifikasi persamaan:
Jadi, jumlah suku deret aritmatika tersebut adalah 8.
Penutup
Nah, itulah tadi kumpulan contoh soal OSN Matematika SMA
yang bisa kamu pergunakan untuk belajar dan mempersiapkan olimpiade.
Apabila kamu ingin belajar contoh soal OSN SMA lainnya, pastikan untuk mencari di blog Mamikos!
Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu: