Contoh Soal Kedudukan Titik terhadap Lingkaran beserta Pembahasannya untuk Bahan Belajar

Contoh Soal 3

Tentukan kedudukan titik (5, 6) terhadap lingkaran dengan persamaan (x−2)² +(y−3)² = 25.

Pembahasan:

Agar bisa menemukan posisi atau kedudukan dari titik (x1,y1) terhadap lingkaran yang memiliki persamaan (x – a)² + (y – b)² = r², maka kita harus substitusikan koordinat titik titik dengan persamaan lingkaran.

1. Bila (x – a)² + (y – b)² > r², maka titik tersebut letaknya berada di luar lingkaran.
2. Bila (x – a)² + (y – b)² = r², maka titik tersebut letaknya berada pada lingkaran.
3. Bila (x – a)² + (y – b)² < r², maka titik tersebut letaknya berada di dalam lingkaran.

Di soal yang ini, diketahui titiknya adalah (5,6) maka x₁ = 5 dan y₁ = 6. 

Lalu persamaan lingkarannya adalah (x−2)² +(y−3)² = 25, sehingga a = 2, b = 3, dan r² = 25.

Pertama, mari substitusikan nilai dari x1 dan y2 ke dalam ruas kiri dari persamaan, sehingga:

(5 – 2)² + (6 – 3)² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18 

Setelah itu, bandingkanlah hasil dari r² = 25:

18 < 25

Maka, dikarenakan (5 – 2)² + (6 – 3)² < 25, dapat dipastikan bahwa posisi titik (5,6) berada di dalam lingkaran tersebut.

Contoh Soal 4

Tentukanlah kedudukan dari titik (1, -1) terhadap lingkaran dengan persamaan (x+1)² +(y−2)² = 9.

Pembahasan:

Pada contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran keempat ini, titiknya diketahui adalah (1, -1), maka x₁ = 1 dan y₁ = -1 dengan persamaan linkgarannya adalah (x + 1)² + (y – 2)² = 9, maka a = -1, b = 2, dan r² = 9.

Substitusikan nilai x1 dan y1 ke dalam persamaan bagian ruas kiri, sehingga didapat:

(1 + 1)² + (-1 – 1)² = 22 + (-3)² = 4 + 9 = 13

Selanjutnya, bandingkan hasil tersebut dengan r² = 0, maka:

13 > 9

Dengan alasan (1 + 1)² + (-1 – 1)² > 9, maka posisi atau kedudukan titik (1, -1) terletak di luar lingkaran.

Baca Juga :

Jawaban Bahasa Inggris Tingkat Lanjut Kelas 12 SMA Halaman 3 dan 4 Kurikulum Merdeka

Contoh Soal 5

Tentukanlah nilai p agar titik (p,1) terletak di dalam lingkaran x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.

Pembahasan:

Untuk menentukan kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran x² +y² + 4x + By + C = 0, kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan lingkaran.

1. Bila x₁² + y₁² + Ax₁ +By₁ + C > 0, maka titik terletak di luar lingkaran.
2. Jika x₁² + y₁² + Ax₁ +By₁ + C = 0, maka titik terletak pada lingkaran.
3. Apabila x₁² + y₁² + Ax₁ +By₁ + C < 0, maka titik terletak di dalam lingkaran.

Pada contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran yang terakhir ini diketahui bahwa titiknya adalah (p, 1), maka x₁ = p dan y₁ = 1. Lalu, persamaan lingkarannya adalah x² + y² − 4x + 2y − 4 = 0.

Dikarenakan titik (p, 1) letaknya ada di dalam lingkaran, maka kita harus bisa memenuhi kondisi berikut ini:

x₁² + y₁² + 4x₁ +2y₁ – 4 < 0

Pertama, substitusikan terlebih dahulu nilai dari x¹ = p dan y¹ = 1 seperti ini:

p² + 1² – 4(p) + 2(1) – 4 < 0

P² + 1 – 4p + 2 – 4 < 0

p² – 4p – 1 < 0