Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Rumus, Sifat, serta Contoh Cara Penyelesaiannya

Rumus Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Beberapa rumus dari penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak adalah teorema-teorema dengan berikut ini:

Baca Juga :

11 Contoh Soal Pertidaksamaan Nilai Mutlak beserta Jawabannya Pilihan Ganda

1. Teorema 4 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila P(x), Q(x), dan R(x) merupakan ungkapan-ungkapan pada x, maka untuk seluruh harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real akan menjadi alimat terbuka P(x) < Q(x) merupakan ekuivalen seperti :

• P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)
• P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

P(x). R(x) > Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

Demikian juga untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) merupakan ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A hingga bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan simbol ≤ (atau ≥). Mudah, bukan?

Maka dengan syarat yang sama pula akan menjadi R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas. Apakah kamu sudah mulai memahami konsepnya?

2. Teorema 5 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, saat dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini ada 2 contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak yang bisa kamu ikuti polanya yaitu:

(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a

Adapun contoh buktinya adalah sebagai berikut :

• Untuk tiap x € R,│x│ ≥ 0
• Karena aturan a > 0, maka -a < 0
• Maka untuk tiap x, -a <│x
• Maka apabila untuk x 0. Tentu dalam hal ini,│x│ = x
• Berhubung -a < │ x │,│x│ = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti). Sekarang apabila difungsikan untuk x < 0
• Maka dalam konsep ini │ x│= -x. Hal ini disebabkan karena -a < │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.
• Kemudian silahkan kalikan dengan (-1), yang mana akan diperoleh a> x > -a atau -a < x < a.

3. Teorema 6 Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Apabila x € R, a € R, dan a > 0, maka│x│> a, saat dan hanya apabila x < -a atau x > a. Berikut adalah contoh penyelesaian yang bisa membuktikan kebenaran dari sifat pertidaksamaan di atas!

Contoh:

Cobalah caril himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut│ x + 1│< 3. Maka penyelesaiannya adalah:

Jika menurut teorema 5 maka akan menjadi,

│ x + 1│< 3

Hanya jika -3 < x + 1 < 3

Maka tiap ruas ditambah dengan -1, yang didapat -4 < x < 2. Maka himpunan penyelesaiannya berupa { x / -4 < x < 2 }

Adapun himpunan penyelesaian bisa juga kamu tulis dengan menggunakan simbol irisan: { x / x > -4 } ∩ { x / x < 2 }.