Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA beserta Penjelasannya

Mengerjakan soal-soal integral dianggap membuat ketagihan, menantang dan puas jika berhasil menemukan jawabannya. Bagi kamu yang baru ingin mengenal materi integral, yuk pahami materi ini melalui rangkuman tentang integral berikut.

16 Februari 2024 Bella Carla

Ikuti Mamikos Info di Google

Jenis-jenis Integral

Terdapat dua jenis integral, yakni integral tak tentu dan integral tentu. Ibarat si Budi yang ngasih kepastian ke kamu dan si Amin yang suka datang dan pergi sesuka hati, mereka pasti punya sifat dan cara pendekatan yang beda ke kamu.

Nah, begitu juga dengan integral tentu dan integral tak tentu. Macam-macam integral ini tentu punya sifat dan rumusnya sendiri.

1. Integral tak tentu

Integral tak tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal (F(x)) apabila fungsi turunan atau derivative F’(x) = f(x) diketahui.

Hitung integral erat kaitannya dengan kalkulus diferensial atau turunan suatu fungsi.

Integral ditemukan terlebih dahulu sebelum turunan, sebelum akhirnya diketahui bahwa ternyata integral dan turunan ternyata mempunyai hubungan.

Walaupun integral ditemukan terlebih dahulu, hitung integral akan lebih mudah dipahami dengan mudah setelah kita mempelajari turunan.

Berikut adalah rumus-rumus umum dan sifat-sifat integral tak tentu.

Rumus:

a. $\int a dx = ax+c$

b. $\int x^{n} dx = \frac{x^{n-1}}{n+1}+c$ dengan $n\neq 1$

c. $\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n-1}+c$ dengan $n\neq 1$

Contoh Soal 1:

Tentukanlah:

a. $\int 2x^{3}$ dx

b. $\int \left ( 5x^{4} -3x^{3}+6x^{^{2}}+7x-2\right )$ dx

c. $\int 2x\sqrt{x}$ dx

Penyelesaian:

a. $\int 2x^{3}$ dx = $\frac{2}{4}^{}x^{^{4}}+c=\frac{1}{2}x^{^{4}}+c$

b. $\int \left ( 5x^{^{4}} \right )- 3x^{^{3}} + 6x^{^{2}}+7x-2)$ dx = $x^{5} - \frac{3}{4}x^{4}+2x^{^{3}}+\frac{7}{2}x^{2}-2x+c$

c. $\int 2x\sqrt{x}$ dx = $\int 2x\tfrac{_{3}^{}}{2}$ dx = $\frac{2}{5}x^{_{2}^{5}}+c=\frac{4}{5}x^{\tfrac{5}{2}}+c$

Contoh Soal 2:

Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta C yang tidak tentu nilainya. Untuk menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga C dapat diketahui.

Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

Penyelesaian:

$f(x)=\int (5x-3)dx=\frac{5}{3}x^{2}-3x+c$

$f(2)=18\Leftrightarrow \frac{5}{2}(2)^{2}+3.2+c=18$

$\Leftrightarrow 10+6+c=18$

$\Leftrightarrow 16+c=18$

$\Leftrightarrow c=2$

Jadi, $f(x)=\frac{5}{2}x^{2}-3x+2$

Contoh Soal 3:

Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4) ditentukan $\frac{dy}{dx}=3x^{2}-8x+5$ , maka tentukan persamaan kurva tersebut.

Penyelesaian:

$f(x)=\int (3x^{^{2}}-8x+5)dx=x^{3}-4x^{2}+5x+c$

$f(3)=4\Leftrightarrow 3^{3}-4.3^{2}+5.3+c=4$

$\Leftrightarrow 27-36+15+c=4$

$\Leftrightarrow c=-2$

Jadi f(x) $= x^{3}-4x^{2}+5x-2$

Cara Membuat Tabel Kebenaran Logika Matematika yang Benar, Siswa SMA Wajib Tahu!

2. Integral tentu

Integral tentu merupakan konsep yang berhubungan dengan proses perhitungan luas suatu daerah di bawah kurva yang batas-batas dari daerah tersebut diketahui.

Integral tak tentu dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan di bawah ini :

Untuk menentukan suatu fungsi jika turunan dari fungsinya diberikan
Untuk menentukan posisi, kecepatan, dan percepatan suatu benda pada waktu tertentu. Misalnya s menyatakan posisi benda, kecepatan benda dinyatakan dengan v, dan percepatan benda dinyatakan dengan a. Hubungan antara s, v, dan a adalah sebagai berikut.

$v=\frac{ds}{dt} sehingga s = \int v dt$ dan $a=\frac{dv}{dt}$ sehingga $v = \int a dt$