Rangkuman Materi Integral Matematika Kelas 12 SMA beserta Penjelasannya

Mengerjakan soal-soal integral dianggap membuat ketagihan, menantang dan puas jika berhasil menemukan jawabannya. Bagi kamu yang baru ingin mengenal materi integral, yuk pahami materi ini melalui rangkuman tentang integral berikut.

16 Februari 2024 Bella Carla

Ikuti Mamikos Info di Google

Rumus:

$\int_{a}^{b}f(x)$ dx = $[F(x)]_{a}^{b}$ = F(b) – F(a)

Berikut ini sifat-sifat integral tentu. Jika diketahui fungsi-fungsi f dan g pada interval [a,b] maka berlaku sifat-sifat berikut.

1. $\int_{a}^{b}f(x)$ dx = $- \int_{b}^{a}f(x)$ dx

2. $\int_{a}^{a}f(x)$ dx = 0

3. $\int_{a}^{b}kf(x)$ dx $=k\int_{a}^{b}f(x)$ dx dengan k suatu konstanta

4. $\int_{a}^{b}(f(x)\pm g(x))$ dx $=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)$ dx

5. $\int_{a}^{c}f(x)$ dx= $\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$

6. $\int_{a}^{b}k dx=k(b-a)$

Contoh Soal Integral Substitusi beserta Jawabannya, Yuk Kita Pelajari!

Contoh Soal 1:

Diketahui $f'(x) = 6x^{2} - 10x + 3$ dan $f (-1) = 2$ . Tentukan $f(x)$

Penyelesaian:

$f'(x) = 6x^{2} - 10x + 3$

$f(x) = \int (6x^{2}-10x+3)dx$

$= 2x^{3} - 5x^{3}+3x+c$

$f(-1) = 2$

$2 = 2(-1)^{3}-5-(-1)^{2}+3(-1)+c$

$2 = -2-5-3+c$

$c=12$

Jadi, $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x+12$

Contoh Soal 2:

Sebuah benda bergerak pada garis lurus dengan percepatan $a$ yang memenuhi persamaan $a = 2t-1, a$ dalam $m/s^{2}$ dan $t$ dalam detik. Jika
kecepatan awal benda $v=5m/s$ dan posisi benda saat $t=6$ adalah $s = 92m$ , maka tentukan persamaan posisi benda tersebut saat $t$ detik!

Penyelesaian:

$a = 2t - 1$

$v = \int a$ $dt$

$v = \int (2t-1)dt$

$= t^{2}-t+C$

Kecepatan awal benda 5 $ms^{-1}$ , artinya saat $t=0$ nilai $v = 5$

$v_{t=0} = 5$

$0^{2}-0+C = 5$

$C=5$

Sehingga,

$v=t^{2}-t+5$

$s=\int v$ $dt$

$= \int (t^{2}-t+5)dt$

$=\frac{1}{3}t^{2}-\frac{1}{2}t^{2}+5t+d$

untuk $s_{t=6} = 92$

$\frac{1}{3}(6)^{3}-\frac{1}{2}(6)^{2}+5(6)+d = 92$

$72-18+30+d=92$

$84+d=92$

$d=8$

Jadi, persamaan posisi benda tersebut saat t detik dirumuskan dengan:

$s=\frac{1}{3}t^{3}-\frac{1}{2}t^{2}+5t+8$

Teknik Pengintegralan

Ada beberapa fungsi yang sulit dicari integralnya dengan cara biasa. Untuk mempermudah penghitungan integral fungsi tersebut dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun parsial.

1. Integral Substitusi

Kadang-kadang persoalan pokok dalam pengintegralan adalah fungsi integrannya perlu diubah terlebih dahulu agar sesuai dengan salah satu bentuk rumus umum di depan.

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus $\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ .

Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

a. Integral fungsi yang dapat diubah menjadi bentuk:

$\int f(x)^{n}d f(x)$

Integral substitusi dipakai apabila integran dapat dibuat ke bentuk f(u). u’ tanpa ada variabel x yang tersisa.

$\int u^{n}du=$ $\frac{1}{n + 1}u^{n+1}+c$ dengan $u = f(x), n \neq - 1$

$\int \frac{1}{u}du = ln\left |u \right |+c$

b. Jika g(x) turunan pertama dari f(x) maka berlaku:

$\int (f(x)^{n}g(x)dx)=\int f(x)^{n}d(f(x))=\frac{1}{n+1}(f(x))^{n+1}+c$

Tidak semua bentuk pengintegralan bisa dikerjakan dengan menggunakan rumus $\int ax^{n}dx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+c$ . Banyak bentuk-bentuk yang kelihatannya rumit, sehingga tidak bisa diselesaikan dengan rumus di atas. Karena itu dibutuhkan suatu cara lain untuk menyelesaikannya.

Pada bagian ini akan dibahas teknik integrasi yang disebut metode substitusi. Konsep dasar dari metode ini adalah dengan mengubah integral yang kompleks menjadi bentuk yang lebih sederhana.

2. Integral Parsial

Apabila kamu menemukan bentuk integral yang tidak bisa diselesaikan dengan integral substitusi, mungkin permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan substitusi ganda yang lebih dikenal sebagai integral parsial.

Fungsi pertama (u) dipilih fungsi yang mempunyai turunan ke-n adalah nol, sedangkan fungsi kedua (dv) dipilih fungsi yang dapat diintegralkan.

Contoh-contoh Soal PTS Matematika SMA/SMK Kelas 12 Semester 1 beserta Jawabannya